잉여류
잉여류는 정수
예를 들어 7을 5로 나누면 2가 남으며 이러한 수는 7, 12, 17, 22,
이를 법 5에 ~대한 7의 잉여류/합동류라 표현할 수 있다.
합동의 정의
- 정수론에서는 합동을
를 으로 나눈 나머지가 같을 때, 와 가 법 에 관하여 합동 (Congruence)이라고 하고, 으로 나타낸다.
- 두 정수
에 대해서 가 의 배수일 때, 와 는 을 법으로 합동(Congruent modulo m)이라한다.
합동의 기본 성질
기약 잉여계와 완전 잉여계의 정의
- 기약 잉여계
가 법 에 대한 완전 잉여계일 때, 여기서 과 서로소인 원소만 모은 집합을 법 에 대한 기약잉여계라 한다.
- 완전 잉여계
에서 인 가 유일하게 있을 때, 를 완전잉여계라고 한다.
기약 잉여계와 완전 잉여계의 예시
역원의 정의
집합
오일러 정의
기약 잉여계 개념은 정수론에서 오일러의 정의를 증명하는 데 사용된다. 정수론에서 유용하게 쓰이는 정리로, 합동식과 관련이 있다. 페르마의 소정리를 일반화한 것이다.
와 이 서로소인 양의 정수일 때, 이다.- 여기서
은 부터 까지의 정수 중 과 서로소인 정수의 개수이다. 오일러 피 함수라고도 불린다.
- 여기서
- 양의 정수
에 대하여, 이하의 자연수 중에서 과 서로소인 정수의 개수를 으로 나타내고 함수 를 오일러의 함수라고 한다.
= varphi
또한 오일러 정리는 대표적인 공개키 암호화 방식 중 하나인 RSA의 가장 중요한 이론이 되는 정리이다.
참고로 오일러 공식, 오일러 방정식과는 다른 것이다.
페르마의 소정리
증명: 오일러 정리에서
Reference
[1] http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=dlrbtjd86&logNo=113315940
[3] https://schbeom.tistory.com/367
[4] https://minq.tistory.com/90
[5] https://thewiki.kr/w/오일러%20정리
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