잉여류

잉여류는 정수 a와 법 m에 대해 합동인 모든 정수의 집합이다.

예를 들어 7을 5로 나누면 2가 남으며 이러한 수는 7, 12, 17, 22, 가 될 수 있다.

이를 법 5에 ~대한 7의 잉여류/합동류라 표현할 수 있다.

 

합동의 정의

  • 정수론에서는 합동을 a,bm으로 나눈 나머지가 같을 때, ab가 법(modulo) m에 관하여 합동 (Congruence)이라고 하고, ab(mod m)으로 나타낸다.

 

  • 두 정수 a,b에 대해서 abm의 배수일 때,  abm을 법으로 합동(Congruent modulo m)이라한다.

 

합동의 기본 성질

ab(mod m)이고, cd(mod m)이면, 다음과 같다.

 

  1. a+cb+d(mod m)
  2. acbd(mod m)
  3. anbn(mod m)

 

기약 잉여계와 완전 잉여계의 정의

  • 기약 잉여계
    • {a1,a2,,am}가 법 m에 대한 완전 잉여계일 때, 여기서 m과 서로소인 원소만 모은 집합을 법 m에 대한 기약잉여계라 한다.

 

  • 완전 잉여계
    • {a1,a2,,am}에서 aai(modm)ai가 유일하게 있을 때, {a1,a2,,am} 를 완전잉여계라고 한다.

 

기약 잉여계와 완전 잉여계의 예시

4를 예시로 들면, {0,1,2,3}은 완전잉여계, 그리고 4와 서로소가 아닌 0,2를 제외한 {1,3}는 기약잉여계가 된다. 기약잉여계가 중요한 이유는, 곱셈의 역원이 있다는 점 때문이다. 예컨대, 6에 대한 완전잉여계 {0,1,2,3,4,5}와 그것의 기약잉여계 {1,5}를 생각하자. {1,5}의 원소는 모두 곱셈 역원을 갖는다. 그러나, 다른 완전잉여계 원소는 그렇지 않다. 이는, ma가 서로소일 때, 정수 x,y가 존재하여 ax+my=1 즉, ax 1(m)이기 때문이다.

 

역원의 정의

집합 S와 이항연산자 *에 대해, 만약 항등원 e가 존재한다고 할 때, S의 원소 a에 대해

ab=ba=e를 만족하는 S의 원소 b가 유일하게 존재할 때, b를 a의 역원이라고 한다.

 

오일러 정의

기약 잉여계 개념은 정수론에서 오일러의 정의를 증명하는 데 사용된다. 정수론에서 유용하게 쓰이는 정리로, 합동식과 관련이 있다. 페르마의 소정리를 일반화한 것이다.

 

  • an이 서로소인 양의 정수일 때, aφ(n)1(mod n)이다.
    • 여기서 φ(n)1부터 n까지의 정수 중 n과 서로소인 정수의 개수이다. 오일러 피 함수라고도 불린다.

 

  • 양의 정수 m에 대하여, m 이하의 자연수 중에서 m과 서로소인 정수의 개수를 φ(m)으로 나타내고 함수 φ:ZN 를 오일러의 φ 함수라고 한다.
    • φ = varphi

 

또한 오일러 정리는 대표적인 공개키 암호화 방식 중 하나인 RSA의 가장 중요한 이론이 되는 정리이다.
참고로 오일러 공식, 오일러 방정식과는 다른 것이다.

 

페르마의 소정리

p가 소수일 때, gcd(a,p)=1인 정수 a에 대하여 a(p1)1(modp)이다.

증명:  오일러 정리에서 n=p대입하고, φ(p)=p1 이용하면 증명

 

 

Reference

[1] http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=dlrbtjd86&logNo=113315940

[2] https://namu.wiki/w/기약잉여계

[3] https://schbeom.tistory.com/367

[4] https://minq.tistory.com/90

[5] https://thewiki.kr/w/오일러%20정리

 

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