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적분은 크게 부정적분과 정적분으로 나뉜다. 부정적분은 미분의 역연산이며, 정적분은 넓이/부피를 계산하는 방법이다. 실용적 관점에서 정적분이 많이 쓰이므로 적분은 대개 정적분을 의미한다. 부정적분과 정적분의 차이는 계산 형태와 적분상수 여부다. 부정적분은 대부분 답이 식으로 도출되며 정적분은 대부분 값으로 도출된다. 이는 부정적분은 $\int $처럼 정해진 구간이 없고 정적분은 $\int_a^b$처럼 정해진 구간이 있기 때문이다. 따라서 정해진 구간이 없는 부정적분은 적분상수가 있고, 정해진 구간이 있는 정적분은 적분상수가 계산 과정에서 사라진다. 이러한 부정적분과 정적분은 도출되는 형태는 다르지만 결국 공통적인 목표는 구간의 넓이/부피를 구하는 것이다. 

부정적분 (indefinite integral, 不定積分)

부정적분에서의 부정은 넓이/부피를 계산할 수 있는 적분 구간을 정할 수 없다는 의미다. 따라서 모든 구간에 대해 일반화를 통해 $f(x)$의 넓이가 이러할 것이라 표현할 수 밖에 없어 식의 형태로 도출된다. 만약 함수 $f(x)$의 부정적분을 $F(x)$로 둔다면 ${d\over dx}F(x) = f(x)$으로 표현할 수 있다. 부정적분은 정적분과 달리 식의 형태로 나타나고 적분상수가 있으므로, $\int f(x)dx = F(x) + C$로 표현할 수 있다. 이 때 $F(x)$를 $f(x)$의 원시함수라고도 부른다. 

정적분 (definite integral, 定積分)

정적분은 넓이와 부피를 계산할 수 있는 적분 구간이 정해져 있다는 의미다. 따라서 구간의 넓이가 계산되어 수치 형태로 도출된다. 부정적분이 가능한 모든 범위에 대한 일반화라면 정적분은 정해진 구간에 대한 특수화라 볼 수 있다. 정적분의 기호를 풀어 쓰면 $a$와 $b$ 구간에서 높이를 $f(x)$로 두고, 밑변(적분변수)을 $dx$로 두어 넓이를 계산하는 것이다. 참고로 정적분이 $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$로 주어져 있다면 $\left[F(x)\right]_a^b$로도 표현할 수 있다. 그 이유는 정적분하는 과정에서 부정적분을 거치기 때문에 부정적분 식을 따로 쓰기 위한 목적이다. 

P.S 향후 필요의 경우 정적분의 종류인 중적분, 이상적분, 스틸체스 적분, 르베그 적분, 리만 적분 등에 대한 내용 추가 예정

Reference

[1] 적분 https://namu.wiki/w/%EC%A0%81%EB%B6%84

[2] 부정적분과 정적분 사이 관계 https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=piry777&logNo=100160884382

[3] 부정적분의 개념,미분과 부정적분과의 관계 https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=sbssbi69&logNo=90172290254

부분 적분은 미적분학에서 두 함수의 곱을 적분하는 기법이다. 치환 적분은 미적분학에서 기존 변수를 새로운 변수로 바꾸어 적분하는 기법이다. 부분 적분은 변수가 바뀌지 않으므로 적분 구간이 바뀌지 않지만, 치환 적분은 변수가 바뀌므로 적분 구간이 바뀐다. 부분 적분은 치환 적분이 적용되지 않을 때 사용한다. 

부분적분

부분적분에서는 두 함수를 $f(x)$와 $g(x)$로 두고 적분을 진행한다. 이 때 $f(x)$와 $g(x)$로 두는 함수의 기준이 존재한다. 그 기준은 미분의 용이성과 적분의 용이성이다. 일명 로다삼지로 알려져 있는데 로그함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수를 뜻한다. 만약 로그함수에 가깝다면 미분이 쉬우므로 $f(x)$로, 지수함수에 가깝다면 적분이 쉬우므로 $g(x)$로 두어야 한다. 이는 추후 계산의 용이성을 위함이다. 두 함수를 두는 방법의 예로, 로그함수와 삼각함수가 곱해진 경우라면 로그함수는 $f(x)$로 삼각함수는 $g(x)$로 둔다. 또 다항함수와 지수함수가 곱해진 경우라면 다항함수를 $f(x)$로 지수함수를 $g(x)$로 둔다. 로다삼지의 예시로 로그함수는 $logx$, $\ln x$를 말하고, 다항함수는 $n$차 다항식/일차함수/이차함수를 말한다. 또 삼각함수는 $sin$, $cos$, $tan$, $secx$, $cscx$, $cotx$를 말하고, 지수함수는 $n^x$, $e^x$를 말한다. (참고로 지수함수를 부정적분하는 공식은 $\int e^{f(x)}dx = {e^{f(x)} \over f'(x)} + C$다.)

그렇다면 부분적분의 공식은 무엇이고 어떻게 유도될까? 부분적분의 공식은 다음과 같다.

$\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$

이를 유도하는 과정은 매우 간단하다. 부분적분은 미분가능한 두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 있을 때 두 함수의 곱인 $f(x)g(x)$를 미분한다. 미분한 결과는 $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$이다. 이 상태에서 다시 적분하면 $f(x)g(x)$가 되어야 할 것이다. 따라서 양변을 x에 대해 적분하면 $f(x)g(x) = \int f'(x)g(x)dx + \int f(x)g'(x)dx$가 된다. 이 때$\int f'(x)g(x)dx$를 이항하게 되면 위 공식이 된다.

그렇다면 3개의 예시를 통해 실제로 부분적분을 적용해보자. 만약 $\int xe^xdx$라면 미분이 쉬운 다항식인 $x$를 $f(x)$로, 적분이 쉬운 지수함수인 $e^x$를 $g'(x)$로 둔다. 부분적분 공식에 의해 $\int xe^xdx = xe^x - \int 1\times e^xdx$가 되므로 결과적으로 $xe^x-e^x+C$가 된다. $e^x$를 적분하면 $e^x$가 되므로. (+미분해도 $e^x$)

두 번째로 $\int \ln xdx$라면 $f(x)$를 $\ln x$로 $g'(x)$를 1로 둔다. 부분적분 공식에 의해 $\int \ln xdx = x\ln x - \int {1\over x}xdx$이다. 따라서 $\int \ln x = x\ln x - \int dx$가 되므로 결과는 $\int \ln x = x\ln x - x + C$가 된다.

세 번째로 $\int x\sin 2xdx$라면 $f(x)=x$로, $g'(x)=\sin 2x$로 둔다. 부분적분 공식에 의해 $\int x\sin 2xdx = x\times -{1\over 2}cos2x - \int 1\times -1{1\over 2}cos2xdx$가 되고 추가 계산하면 결과적으로 $\int x\sin 2xdx = -{1\over 2}xcos2x + {1\over}4\sin 2x + C$가 된다.

이러한 부분적분을 매우 쉽게할 수 있는 경우가 있다. 만약 계속 미분하면 0이되는 함수와 계속 적분할 수 있는 함수와의 곱이라면 가능하다. 아래 그림의 두 예시와 같은 과정으로 이뤄진다. 참고로 +와 -는 차례대로 번갈아가며 적용한다. 또 아래의 $g(x)$는 위의 $g'(x)$와 같다.

치환 적분

치환 적분은 복잡한 함성함수를 적분할 때 사용하는 방법으로 $ g(x) = t$ (이 때 g(x)는 미분가능 함수)와 같이 적분 변수($x$)를 다른 변수($t$)로 바꾸어 적분하는 방법이다. 예를 들어 $\int \cos(2x+1)dx$와 같은 함수를 적분해야 하는 상황에서 $2x+1 = t$와 같이 치환하여 단순화 시키는 것이다. 먼저 결론을 말하자면 치환 적분의 공식은 다음과 같다.

$\int f(x)dx = \int f(g(t))g'(t)dt$

그렇다면 이 치환 적분의 공식은 어떻게 유도될까? 간단하다. 먼저 $dy \over dx$는 $x$에 대한 $y$의 변화량이다. 하지만 이는 ${dy \over dx} = {dy \over dt} {dt \over dx}$로도 표현할 수 있다. 이후 $\int f(x)dx$라는 식이 있을 때 $x = g(t)$로 둔다. 이때 $x$를 미분하면 ${dx\over dt} = g'(t)$가 된다. 이를 기존의 식에 대입하면 $\int f(g(t))g'(t)dt$가 된다. 즉 $x$에 대한 적분을 $t$에 대한 적분으로 치환한 것이다.

이 치환 적분 공식을 2개의 예시에 적용해보자. 첫 번째로 $\int \cos (2x+1)dx$의 부정적분을 구해보자. 먼저 $2x+1 = t$로 둔다. 이후 양변을 $x$에 대해 미분하면 ${dt\over dx}=2$이므로, $dx={1\over 2}dt$가 된다. 따라서 이를 적분하고자 했던 식에 대입하면 $\int \cos t \times {1\over 2}dt$이 된다. 이제 이를 적분하면 ${1\over2} \sin t + C$의 형태가 되며 t에 대환 치환을 다시 $x$로 돌려주면 결과적으로 ${1\over 2}\sin (2x+1) +C$로 적분 계산 값이 도출된다.

두 번째 예시는 $\int x{\sqrt{x+1}}dx$이다. 마찬가지로 $x+1 = t$로 치환한다. $x$에 대해 미분하면 ${dt\over dx} = 1$이므로 $dt = dx$가 된다. 따라서 이를 대입해주면 $\int (t-1)\sqrt{t}dt$가 되고, 조금 난잡해보일 수 있지만 루트 표현식을 분수 표현식으로 바꾸면 $\int (t{3\over 2}-t{1\over 2})dt$가 된다. 이제 적분할 수 있다. 계산하면 ${2\over 5} t^2\sqrt{t} - {2\over 3}t\sqrt{t} +C$가 된다. $t$로 치환된 값을 다시 $x$로 풀어주면 결과적으로 ${2\over 5}(x+1)^2 \sqrt{x+1} - {2\over 3}(x+1)\sqrt{x+1} + C$로 적분 계산 값이 도출된다.

Reference

[1] 부분적분 쉽게하기 https://www.youtube.com/watch?v=E8N1E5ZAiIU 

[2] 부분적분, 치환적분 https://m.blog.naver.com/biomath2k/221860999596

[3] 치환적분 유도와 문제 예시 https://www.youtube.com/watch?v=SLnYC7mvyhk 

[4] 치환적분 문제 예시 https://blog.naver.com/biomath2k/221861047023

멱급수 (Power Series)

멱급수 이전에, 먼저 급수란 규칙이 있는 수열의 합을 의미한다.

예컨데 등차수열의 합이나 등비수열의 합도 급수이다. 등비수열의 합을 나타내는 식은 아래와 같은데, 

$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1}$

위와 같은 일반적인 급수는 각 항에 단순한 숫자가 들어가는 것이 특징이다. 하지만 멱급수의 경우 같은 형태를 띠지만 숫자가 아닌 $x$와 같은 문자로 표현되는 것이 특징이다. 가령 수식으로 나타내면 아래와 같다.

$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$

이러한 멱급수는 언제 사용될까? 멱급수는 물리학이나 수학에서 처음부터 정확한 해를 찾기 어려울 때 근사치를 통해 점점 근사한 값을 찾아갈 때 사용한다. 즉, 찾고자 하는 함수나 해가 어떤 형태나 값인지 잘 모를 경우 멱급수로 가정하고 문제를 풀게 되면 근사 함수나 근사 해를 구할 수 있는 것이 특징이다. 이 때 정확한 함수나 정확한 해를 구할 수 없는 것은 실사용의 편의를 위해 고차원이 되는 항은 제외하고 2차항 또는 3, 4차항만 구한 뒤, 이를 구하고자 했던 함수 또는 해라고 판단한다. 실제로 멱급수는 양자역학에서 원자핵 주위를 도는 전자와 같이 미시세계를 다룰 때 2차항 정도까지만 고려해도 계산값과 측정값이 근사하기 때문에 유용하게 쓰인다고 한다. 

테일러 급수 (Taylor Series)

테일러 급수란 여러 번 미분가능한 함수 $f(x)$에 대해 $x=a$에서 그 $f(x)$에 접하는 멱급수로 표현하는 방법이다. 테일러 급수를 사용하는 방법은 무한개의 항을 가진 멱급수를 통해 어떤 함수를 표현하는 것이다. 하지만 실 사용에서는 편의를 위해 몇 개의 항만 사용해 근사의 형태로 활용한다.

일반화한 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty {f^{(n)}(a) \over n!} {(x-a)}^n$

테일러 급수의 특징은 $x$가 $a$ 근처에서만 성립하는 것이다. 만약 $x$가 $a$로부터 멀어지면 멀어질수록 큰 오차를 갖게 된다. 또한 테일러 급수를 활용해서 무한히 미분가능한 f(x)를 우리가 찾고자 하는 함수에 무한히 근사한다고 해도 같아지지 않을 수 있다. 예컨데 아래와 같이 항의 개수(N)가 많아질수록 오히려 근사 함수에 수렴하는 것이 아니라 어느 특정 구간에서 오차가 크게 생기는 것을 확인할 수 있다.

우리는 찾고자 하는 함수에 근사하기 위해서는 테일러 급수 f(x)에서 $x=a$인 $f(a)$가 필요하다. 

(1) $f(x) = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 + a_3(x-a)^3 + a_4(x-a)^4 + \dots$

의 수식이 있을 때 (0)과 같이 일반화한 수식으로 나타내기 위해서는 미분한 식에 $x=a$를 대입하면 된다. 과정은 아래와 같다.

(1)의 식을 한 번 미분하게 되면 아래와 같은 함수를 얻을 수 있다. 

$f'(x) = a_1 + 2a_2(x-a) + 3a_3(x-a)^2 + 4a_4(x-a)^3 + \dots$

위의 식에 $x=a$를 대입하게 되면 모두 사라지고 하나의 항만 남아 $f'(a) = a_1$이 된다.

(1)의 식에 두 번 미분하게 되면 아래의 식이 된다

$f''(x) = 2a_2 + 2 * 3a(x-a) + 3*4a_4(x-a)^2+\dots$

위의 식에 $x=a$를 대입하게 되면 모두 사라지고 하나의 항만 남아 $f''(a) = 2a_2$이 된다. 즉, $a_2 = {1\over2} f''(a)$이다

(1)의 식에 세 번 미분하게 되면 아래의 식이 된다.

$f'''(x) = 2 * 3a_3 + 2*3*4a_4(x-a)+\dots$

위의 식에 $x=a$를 대입하게 되면 모두 사라지고 하나의 항만 남아 $f'''(a) = 2*3a_3$이 된다. 즉, $a_3 = {1\over{2*3}} f'''(a)$이다.

위와 같은 절차를 정리해서 테일러 급수를 표현하면 아래와 같다.

$f(x) = f(a) + {1\over 1!}f'_{(a)}(x-a) + {1\over 2!}f''_{(a)}(x-a)^2 + {1\over 3!}f'''_{(a)}(x-a)^3 + \dots + {1\over n!}f^n_{(a)}(x-a)^n$

결론을 정리하면 어떤 함수에 근사하는 함수를 찾기 위해 어떤 함수를 테일러 급수의 형태로 나타낸 다음, 미분을 통해서 찾고자 하는 함수에 점점 근사해 나갈 때 사용된다. 

매클로린 급수 (Maclaurin's Series)

매클로린 급수는 테일러 급수에 포함되는 개념이라 볼 수 있다. 테일러 급수의 특정한 경우에 사용되는 급수이다. 매클로린 급수는 $a=0$일 때를 의미하는 원점 근처에서 함수를 급수 전개 한것을 의미한다. 테일러 급수에서 사용되는 $x-a$를 $x$로만 바꾸면 되기에 더 간단한 형태이다. 

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty {f^{(n)} \over n!} {x}^n$

Reference

[1] http://www.aistudy.com/math/optimization.htm

[2] https://nacture.kr/70

[3] https://crush-on-study.tistory.com/93