군, 환, 체의 경우 대수학에서 사용되는 개념으로 기본적이면서 가장 중요한 개념으로 여겨진다.
군 환 체 정의
군
공집합이 아닌 집합 G 위에 다음 세 조건을 만족하는 이상연산 $\circ$가 정의될 때 $<G, \circ>$를 군이라 한다.
군의 공리
- 결합법칙 : $G$의 임의의 원소 $a, b, c$에 대해 다음이 성립한다.
- $(a \circ b)\ \circ \ c\ =\ a\ \circ \ (b \circ c)$
- 항등원 : $G$의 모든 원소 $a$에 대해 다음이 성립하는 $e \in G$가 존재해야하며, 이 때 $e$를 $G$의 단위원 또는 항등원이라한다.
- $a \circ e\ =\ e\circ a = a$
- 역원 : $G$의 각 원소 $a$에 대해 다음이 성립하는 $a^{-1}이 $G$에 존재해야 하며, 이 때 $a^{-1}$를 $a$의 역원이라한다.
- $a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e$
- 닫힘 : 어떤 집합의 임의의 두 원소(순서쌍)간에 연산이 행해질 때, 그 결과 역시 그 집합의 원소가 되는 것을 의미한다.
- $a \circ b$ 연산의 결과도 집합 $G$에 속하며 순서쌍 $(a,b)$들의 곱(카테시안 곱) 연산에 대해 닫혀있음
군은 결합법칙, 항등원, 역원, 닫힘의 네 가지 특성을 가지고 있어야 한다.
군의 종류
- 가환군 or 아벨군
- 군의 네 가지 특성에 추가적으로 교환법칙까지 성립할 경우 이를 아벨군(abelian group) 또는 가환군(commutative group)이라 한다.
- 순환군(Cyclic Group)
- 한 원소로 군의 모든 원소를 표시할 수 있는 군을 의미하며, 이 때 해당 원소를 생성원(generator)라 한다.
- 덧셈군(Additive Group)
- 군의 이항 연산이 덧셈 연산인 군
- 곱셉군(Muliplicative Group)
- 군의 이항 연산이 곱셈 연산인 군
- 부분군(Subgroup)
- 군 $G$의 부분집합으로 군 $G$와 같은 연산 구조를 가지는 군
군의 표기
- $(G, \circ)$ 또는 $<G, $circ>$ 또는 ${G, \circ}$
- $G$: 군의 원소 집합
- $\circ$ : 군의 연산
- 군의 차수/위수(order): $|G|$ 또는 $O(g)$ 또는 $G_n$ 또는 $ord(G)$로 나타낼 수 있다.
환
어떤집합 R 및 그 집합 위에 2개의 이항연산$(+, \circ)$이 정의되는 대수 구조를 의미하며 다음과 같이 표기한다.
- $(R, +, \circ)$ 또는 $< R, +, \circ>$ 또는 $환 R$
환의 공리
- 덧셈 연산에 대해 : $(R, +)$는 가환군
- 닫혀 있음
- 항등원(`0`)이 존재 $\rightarrow a + 0 = 0 + a = a$
- 각 성분에 대해 역원이 존재함$\rightarrow a + (-a) = (-a) + a = 0$
- 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 $\rightarrow a + b = b + a$
- 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 $\rightarrow (a + b) + c = a + (b + c)$
- 곱셈(\circ) 연산에 대해 : $(R, \circ)$
- 닫혀 있음
- 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 $\rightarrow (a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)$
- 덧셈 및 곱셉 연산에 대해 : $(R, +, \circ)$
- 모든 성분에 대해 분배법칙이 성립 $\rightarrow a\circ (b + c) = a\circ b + a\circ c, (a + b)\circ c = a\circ c + b\circ c$
추가적인 조건에 따른 환의 종류
- 가환환
- 추가적으로 곱셈(\circ)에 대해서 가환이 되는 환 : $a \circ b = b \circ a)$
- 단위원을 갖는 환(Ring with Unity)
- 추가적으로 곱셈 항등원 즉, 단위원을 갖는 환 : $1 \circ a = a \circ 1 = a$
- 나눗셈환
- 단위원 1을 갖는 환으로써, 곱셈 역원이 존재하는 환 : 각 원소 $a \in R, a \neq 0$에 대해, $a \circ a^{-1} = a^{-1}\circ a = 1$
- 정역(Integraldomain)
- 단위원 1을 갖는 가환환으로써, 추가적으로 다음 조건을 만족
- $a \neq 0, b \neq 0$이면 $a \circ b \neq 0$을 만족함 또는
- $a \circ b = 0$이면, $a = 0$ 또는 $b = 0$ $(a,b \in R)$
- 단위원 1을 갖는 가환환으로써, 추가적으로 다음 조건을 만족
체
- 코드(부호) 등을 기술하는데 사용될 수 있는 수학적 대수 구조
- 예) 실수 $R$, 유리수 $Q$, 복소수 $C$와 같은 수 체계에 대한 추상화
- 특정한 성질을 만족하는 2개의 연산이 정의되는 가환환
- 그 요소들이 집합을 이루면서, 덧셈과 곱셈 연산 두 쌍을 사용할 수 있는 구조(2개 산술연산자)
체의 공리
- 덧셈 연산에 대해 : $<F, +>
- 집합 내 원소의 연산 결과가 다시 그집합 내에 있게된다. $\rightarrow\ 닫혀있음
- 항등원 (`0`)이 존재 : $a + 0 = a = 0 + a$
- 모든 성분에 대해 덧셈 역원이 존재 : $a + (-a) = 0 = (-a) + a$
- 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 : $(a + b) + c = a + (b + c)$
- 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 : $a + b = b +a$
- 곱셈 연산에 대해 : $<F, \circ>$
- 모든 성분에 대해 분배법칙이 성립 : $a (b +c) = a b + a c$
위 체의 공리에서 덧셈 공리들 만을 만족할 경우는 아벨군 또는 가환군이며, 곱셈의 역원 존재 만을 제외한 나머지 공리들을 만족하는 경우는 환이다.
체의 공리가 성립하는 예제
- 실수체 : 실수 전체의 집합
- 복소수체 : 복소수 전체의 집합
- 유리수체 : 유리수 전체의 집합
유한개의 원소를 갖는 체 $\rightarrow$ 유한체(갈로이스체)
Reference
[1] https://booolean.tistory.com/300
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