유클리드 호제법 증명

정의

유클리드 호제법이란 두 정수 사이에 최대공약수(GCD)를 보다 효과적으로 구하는 것으로, 인류 최초의 알고리즘이라 한다. 

 

두 개 자연수 $A, B$가 있고 $A\ \%\ B = r$이면 다음과 같다. (단, $A > B$)

 

$GCD(A,B) = GCD(B,r)$

 

이 때, $A\ \%\ B = r$에 의해 다음과 같은 식이 기본적으로 유도된다.

 

$A = Bq + r$

 

증명

두 자연수 $A,B (A > B)$의 최대공약수를 $G$라 하자. $G$는 공약수이므로 두 서로소 $a, b$에 대해 다음 식이 성립한다.

 

$A = aG, B = bG$

 

위의 식을 사용하여 $A = Bq + r$에 대입하면 다음과 같다.

 

$aG = bGq + r$

 

$r = aG - bGq$

 

$ r = (a - bq)G$

 

$A = aG, B = bG$에서 $a, b$가 서로소라면 $G$가 최대공약수이기 때문에 $b, a - bq$가 서로소임을 증명하면 된다.

 

이를 증명하기 위해서는 가정에 모순을 확인하는 귀류법을 사용하여 해결할 수 있다.

 

$b$와 $a - bq$가 서로소가 아니라면 두 수는 공약수 $k$를 가지기 때문에 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$a - bq = mk$

$b = nk$

 

위 식의 항을 옮기고 대입하여 정리하는 과정은 다음과 같다.

 

$a = mk + bq$

 

$a = mk + nkq$

 

$a = (m+nq)k$

 

따라서 다음과 같은 식을 확인할 수 있다.

$a = (m+nq)k$

$b = nk$

 

하지만 $a$와 $b$는 서로소이나 공약수 $k$를 가지므로 거짓 명제이다.

 

따라서 $a-bq$와 $b$는 서로소이다.

 

 

Reference

[1] https://baeharam.github.io/posts/algorithm/extended-euclidean/